Ángulos poliedros. Paralelismo y perpendicularidad. Poliedros: elementos y tipos.
1. Si estem en una habitació sense columnes, atenent al sòl i a les seues quatre parets, quants angles diedres es formen?
2. Doblega per la mitat un full de paper, construeix un angle diedre i traça el seu rectilini. Podries mesurar l’amplitud de diferents angles diedres mitjançant aquest rectilini?
3. Determina l’amplitud dels angles diedres que formen les cares laterals d’un poliedre que és un prisma recte de base un octògon regular.
4. Dues cares d’un triedre medeixen 60º i 118º, Entre quins valors pot oscil·lar l’altra?
5. Es pot formar un angle poliedre amb un angle d’un triangle equilàter, dos angles d’un rectangle i un d’un pentàgon regular?
6. Podrà existir un poliedre regular les cares del qual siguen hexagonals? Raona la resposta.
7. Quantes diagonals pots traçar en un cub? I en un octaedre?
8. Pots trobar dues arestes paral·leles en un tetraedre? I en cada un dels restants poliedres regulars?
9. Prolonga una parella d’arestes en una piràmide pentagonal, de manera que s’obtinguen rectes no coplanaries.
10. Dibuixa un prisma regular de base quadrada i assenyala:
a) dues arestes que siguen paral·leles,
b) dues arestes que siguen perpendiculars i coplanaries,
c) dues arestes perpendiculars i no coplanaries,
d) dues cares paral·leles,
e) dues cares perpendiculars.
11. Si un poliedre convex té 16 vèrtexs i 24 arestes, quantes cares té? Podria ser una piràmide? I un prisma?
12. Amb 12 varetes de 5 cm de llarg cadascuna, usant totes les varetes quins poliedres regulars es poden construir?
13. D’unprisma sabem que el nombre de vèrtexs és 16 i que el nombre d’arestes és 24 quantes cares té?
14. Classifica els següents cossos geomètrics i indica, quan siguen poliedres, el nombre de vèrtexs, cares i arestes que tenen. Quins compleixen el teorema d’Euler?
15. Descriu la diferència entre un prisma recte i un prisma oblic. És prou que un paral·lelepípede tinga dues cares paral·leles rectangulars perquè siga un ortoedre?
Teorema de Pitàgores a l’espai
16. Dibuixa un paral·lelepípede les arestes del qual mesuren 4 cm, 5 cm i 6 cm que no siga un ortoedre. Dibuixa també el seu desenrotllament.
17. Si el paral·lelepípede anterior fóra un ortoedre, quant mesuraria la seua diagonal?
18. Un got de 12 cm d’altura té forma de tronc de con en què els radis de les bases són de 5 i 4 cm.
Quant ha de mesurar com a mínim una cullereta perquè sobreïsca del got almenys 2 cm?
19. És possible guardar en una caixa amb forma d’ortoedre d’arestes 4 cm, 3 cm i 12 cm un bolígraf de 13 cm de longitud?
20. Calcula la diagonal d’un prisma recte de base quadrada sabent que el costat de la base mesura 6 cm i l’altura del prisma 8 cm.
21. Si un ascensor mesura 1 m d’ample, 1,5 m de llarg i 2,2 m d’altura, és possible introduir en ell una escala de 3 m d’altura?
22. Quina és la major distància que es pot mesurar en línia recta en una habitació que té 6 m d’ample, 8 m de llarg i 4 metres d’altura ?
23. Calcula la longitud de l’aresta d’un cub sabent que la seua diagonal medeix 3,46 cm.
24. Calcula la distància màxima entre dos punts d’un tronc de con les bases de la qual tenen radis 5 cm i 2 cm, i altura 10 cm.
Àrea lateral, total i volum de cossos geomètrics
25. Identifica a quin cos geomètric pertanyen els desenrotllaments següents:
26. Un prisma de 8 dm d’altura té com a base un triangle rectangle de catets 3 dm i 4 dm. Calcula les àrees lateral i total del prisma.
27. Dibuixa un prisma hexagonal regular que tinga 4 cm d’aresta basal i 1 dm d’altura i calcula les àrees de la base i total.
28. Un prisma pentagonal regular de 12 cm d’altura té una base de 30 cm2 d’àrea. Calcula el seu volum.
29. Calcula l’àrea total d’un ortoedre de dimensions 3,5 dm, 8,2 dm i 75 cm.
30. Calcula la superfície total i el volum d’un cilindre que té 8 m d’altura i 5cm de radi de la base.
31. Calcula l’àrea total d’una esfera de 5 cm de radi.
32. Calcula l’apotema d’una piràmide regular sabent que la seua àrea lateral és de 120 m2 i la seua base és un hexàgon de 5 m de costat.
33. Calcula l’apotema d’una piràmide hexagonal regular sabent que el perímetre de la base és de 32 dm i l’altura de la piràmide és de 4 dm. Calcula també l’àrea total i el volum d’aquesta piràmide.
34. Un triangle rectangle de catets 12 cm i 5 cm gira al voltant d’un dels seus catets generant un con. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum.
35. Tres boles de metall de radis 12 dm, 0,3 m i 4 m es fonen en una sola, Quin serà el diàmetre de l’esfera resultant?
36. Quina és la capacitat d’un pou cilíndric de 1,20 m de diàmetre i 20 metres de profunditat?
37. Quant cartó necessitarem per a construir una piràmide quadrangular regular si volem que el costat de la base mesure 10 cm i que la seua altura siga de 25 cm?
38. Calcula el volum d’un cilindre que té 2 cm de radi de la base i la mateixa altura que un prisma la base del qual és un quadrat de 4 cm de costat i 800 cm3 de volum.
39. Quina és l’àrea de la base d’un cilindre de 1,20 m d’alt i 248 dm3 de volum?
40. L’aigua d’un brollador es condueix fins a uns depòsits cilíndrics que mesuren 12 m de radi de la base i 20 m d’altura. Després s’embotella en bidons de 2,5 litres. Quants envasos s’omplin amb cada depòsit?
41. Calcula la quantitat de cartolina necessària per a construir un anell de 10 tetràedres cada un dels quals té 2 cm d’aresta.
42. En fer el desenrotllament d’un prisma triangular regular de 8 dm d’altura, va resultar un rectangle d’1 metre de diagonal com a superfície lateral. Calcula l’àrea total.
43. Determina la superfície mínima de paper necessària per a embolicar un prisma hexagonal regular d’1 m de costat de la base i 2 m d’altura.
44. L’ajuntament de Madrid ha col·locat unes jardineres de pedra als seus carrers que tenen forma de prisma hexagonal regular. La cavitat interior, on es deposita la terra, té 80 cm de profunditat i el costat de l’hexàgon interior és de 60 cm. Calcula el volum de terra que ompliria una jardinera per complet.
45. Una habitació té forma d’ortoedre i les seues dimensions són directament proporcionals als nombres 3, 5 i 7. Calcula l’àrea total i el volum si a més se sap que la diagonal medeix 14,5 m.
46. Un ortoedre té 1 dm d’altura i 6 dm2 d’àrea total. La seua longitud és el doble de la seua amplària, quin és el seu volum?
47. Si el volum d’un cilindre de 10 cm d’altura és de 314 cm3, calcula el radi de la base del cilindre.(Utilitza 3,14 com a valor de π).
48. (CDI Madrid 2011) Han instal·lat a casa de Joan un depòsit d’aigua de forma cilíndrica. El diàmetre de la base mesura 2 metres i l’altura és de 3 metres. a) Calcula el volum del depòsit en m3. (Prendre p=3,14). b) Quants litres d’aigua caben al depòsit?
49. (CDI Madrid 2012) Un envàs d’un litre de llet té forma de prisma, la base és un quadrat que té 10 cm de costat. a) Quin és, en cm3, el volum de l’envàs? b) Calcula l’altura de l’envàs en cm.
50. Una circumferència de longitud 2,24 cm gira al voltant d’un dels seus diàmetres generant una esfera. Calcula el seu volum. (Prendre p=3,14).
51. Una porta mesura 2 m d’alt, 80 cm d’ample i 4 cm de grossària. El preu d’instal·lació és de 200 € i es cobra 6 € per m2 en concepte d’envernissat, a més del cost de la fusta, que és de 300 € cada m3. A) Calcula el volum de fusta d’una porta.
B) El cost de la fusta d’una porta més la seua instal·lació. C) El cost de l’envernissat de cada porta, si només es cobra l’envernissat de les dues cares principals.
52. L'aigua continguda en un recipient cònic de 18 cm d’altura i 24 cm de diàmetre de la base s’aboca en un got cilíndric de 10 cm de diàmetre. Fins a quina altura arribarà l’aigua?
53. Segons Arquimedes, quines dimensions té el cilindre circumscrit a una esfera de 5 cm de radi que té la seua mateixa àrea? Calcula aquesta àrea.
54. Quin és el volum d’una esfera en què una circumferència màxima mesura 31,40 m?
55. Calcula l’àrea lateral i el volum dels següents cossos geomètrics
56. Calcula l’àrea lateral i el volum dels següents cossos geomètrics
57. En la construcció d’un globus aerostàtic de radi de 2,5 m s’empra lona que té un cost de 300 €/m2. Calcula l’import de la lona necessària per a la seua construcció.
58. Calcula el radi d’una esfera que té 33,51 dm3 de volum.
59. L'Atomium és un monument de Brussel·les que reprodueix una
molècula de ferro. Consta de 9 esferes d’acer de 18 m de diàmetre
que ocupen els vèrtexs i el centre d’una estructura cúbica de 103
m de diagonal, realitzada amb cilindres de 2 metres de diàmetre. Si
utilitzem una escala 1:100 i tant les esferes com els cilindres són
massissos, quina quantitat de material necessitarem?
60. S'ha pintat per dins i per fora un depòsit sense tapadora de 8 dm
d’alt i 3 dm de radi. Tenint en compte que la base només es pot
pintar per dins, i que s’ha utilitzat pintura de 2€/dm2, quants
diners ha costat en total?
61. Una piscina mesura 20 m de llarg, 5 m d’ample i 2 m d’alt.
a. Quants litres d’aigua són necessaris per a omplir-la?
b. Quant costarà recobrir el sòl i les parets amb PVC si el preu és de 20 €/ m2?
62. Quina de les dues campanes extractores de la figura esquerra té un cost d’acer inoxidable menor?
63. En un atuell cilíndric de 8 dm de diàmetre i que conté aigua, s’introdueix una bola. Quin és el seu volum si després de la immersió puja 0,3 metres el nivell de l’aigua?
64. El preu de les teules és de 14,30 €/m2 Quant costarà reparar una vivenda la teulada de la qual té forma de prisma quadrangular regular de 4 metres d’altura i 8 metres de costat de la base?
65. S'enrotlla una cartolina rectangular de costats 30 cm i 25 cm de les dues formes possibles, fent coincidir costats oposats. Quin dels dos cilindres resultants té major volum?
66. Cada un dels cubs de la figura té 2 cm d’aresta. Quants cal afegir per a formar un cub de 216 cm3 de volum?
67. Un tub d’assaig té forma de cilindre obert en la part superior i rematat per una semiesfera en la inferior. Si el radi de la base és de 1,5 cm i l’altura total és de 15 cm, calcula quants centilitres de líquid caben en ell.
68. El vidre d’un fanal té forma de tronc de con de 50 cm d’altura i bases de radis 20 i 30 cm. Calcula la seua superfície.
69. Un pot cilíndric de 10 cm de radi i 40 cm d’altura té al seu interior quatre pilotes de radi 3,5 cm. Calcula l’espai lliure que hi ha al seu interior.
70. Construïm un con amb cartolina retallant un sector circular de 120º i radi 20 cm. Calcula el volum del con resultant.
71. Un embut cònic de 20 cm de diàmetre ha de tindre 2 litres de capacitat, quina serà la seua altura?
72. En un depòsit amb forma de cilindre de 25 cm de radi, una aixeta aboca 15 litres d’aigua cada
minut. Quant augmentarà l’altura de l’aigua després d’un quart d’hora?
73. La lona d’una ombrel·la oberta té forma de piràmide octogonal regular d’1 m d’altura i 45 cm de costat de la base. Es fixa un pal en el sòl en què s’encaixa i el vèrtex de la piràmide queda a una
distància del sòl de 1,80 m. En el moment en què els rajos de sol són verticals, quin espai d’ombra determina?
74. Una peixera amb forma de prisma recte i base rectangular
s’ompli amb 56 litres d’aigua. Si té 48 cm de llarg i 36 cm
d’ample, quina és la seua profunditat?
75. Si s’enrotlla una cartolina rectangular de costats 30 cm i 25 cm de les dues formes possibles, quin
dels dos cilindres resultants té major volum?
76. Un rectangle d’1 m de base i 10 m d’altura gira 360º al voltant d’una recta paral·lela a l’altura, que
està situada a 2 m de distància. Calcula la superfície i el volum del cos que resulta.
77. En un gelat de cucurutxo la galleta té 15 cm d’altura i 5 cm diàmetre. Quina és la seua superfície? Si
el cucurutxo està completament ple de gelat i sobreïx una semiesfera perfecta, quants grams de
gelat conté?
Fusos horaris
78. Quina diferència de longitud existeix entre dues ciutats si la diferència horària entre ambdues és de 5 hores? Podem saber si hi ha diferència entre les seues latituds?
79. Un avió emprén viatge cap a una ciutat situada a l’oest de Madrid. El viatge dura 10 hores i el seu rumb manté en tot moment la latitud de partida. Si la diferència de longitud entre Madrid i la ciutat
d’arribada és de 45º i l’avió s'envola de l’aeroport Adolfo Suárez a les 9 del matí. A quina hora local
aterrarà a la ciutat de destí?
80. La distància entre Londres i Pequín és de 8149 Km i la distància entre Londres i Sao Paulo és de 9508 Km, no obstant això a Pequín el rellotge marca 7 hores més que a Londres i a Sao Paulo 3 hores menys que a Londres. Com expliques aquesta diferència?
