TEOREMA DE PITÀGORES A L’ESPAI

Si un ortoedre té arestes de longituds a, b, c, segons el teorema de Pitàgores, a l’espai, la suma dels quadrats de les arestes, coincideix amb el quadrat de la diagonal, D, de l’ortoedre:

D² = a² + b² + c²

Com a conseqüència, la suma de les àrees dels quadrats de costats iguals a les arestes, coincideix amb l’àrea del quadrat que té com a costat la diagonal de l’ortoedre.

Construirem un trencaclosques, basat en la demostració que Perigal va idear per a demostrar el teorema de Pitàgores al pla. Cal aplicar dues vegades el seu mètode i trobarem les peces clau que demostren el teorema a l’espai.
En traçar la diagonal d de la base, queda dividida en dos triangles rectangles de catets a i b.


Construïm el quadrat sobre la seua hipotenusa i les peces de Perigal
que demostren el teorema de Pitàgores en un d’aquests triangles.

Per a això en el quadrat construït sobre el catet major (en la nostra figura, b de color blau) i, pel seu centre, tracem dos segments un paral·lel i un altre perpendicular a la hipotenusa, de manera que ambdós tallen als dos costats del quadrat. El quadrat queda dividit en quatre peces exactament iguals que junt amb el quadrat de costat
a, recobreixen el quadrat de costat d.

Ara cal fixar-se al triangle rectangle de catets c, d i la hipotenusa del qual és D i repetir el procés anterior, això sí que utilitzant el quadrat

de costat d recobert amb les peces blaves i el quadrat verd.

A les pàgines següents trobaràs les làmines que et permeten construir la teua pròpia demostració. Únicament has de retallar les dues últimes, apegar-les una contra una altra i construir un ortoedre amb fil d’aram que tinga com a dimensions les longituds dels costats del quadrats verd, blau i groc.