PERPENDICULARITAT I PARAL·LELISME A L’ESPAI

1.1. Posicions relatives a l’espai

A l’espai de tres dimensions en què ens movem, els elements geomètrics més senzills són punts, rectes i plans. El nostre primer objectiu és descriure les posicions que poden presentar qualsevol parella d’aquests elements. Tracta d’imaginar-les abans de llegir.

Distingirem diversos casos:

a) Punt – recta:
Pot ser que el punt pertanga a la recta o que siga exterior a ella.

b) Punt – pla:
El mateix ocorre amb un punt i un pla: només hi ha dues posicions possibles, el punt està al pla o
fora del mateix.

c) Pla – recta:

d) Pla- pla:

e) Recta- recta:
Dues rectes a l’espai poden ser coplanàries si és possible dibuixar-les en un mateix pla, o no coplanàries en qualsevol altre cas.
Si dues rectes són coplanàries poden ser paral·leles, si tenen la mateixa direcció, secants, si tenen un
punt comú, o coincidents si tenen comuns tots els seus punts. Si dues rectes són no coplanàries no
tenen cap punt comú i es diu que les dues rectes s’encreuen.

1.2. Angles diedres, triedres i poliedres.

Tot pla divideix a l’espai en dos semiespais. Dos plans que es tallen queden dividits en quatre semiplans que passen per una mateixa recta i que al seu torn divideixen a l’espai en quatre regions.

Cada una de les regions de l’espai compresa entre dos semiplans que tenen una recta comuna, s’anomena angle diedre.
Els semiplans que el defineixen s'anomenen cares de l’angle diedre i la recta comuna aresta.

Si en un diedre tracem dos perpendiculars a l’aresta al mateix punt, situades cada una d’elles en una cara, l’angle que formen les dites perpendiculars s’anomena angle rectilini del diedre.

Un angle poliedre és la regió a l’espai
limitada per tres o més semiplans que són secants dos a dos i que tenen un punt comú que s’anomena vèrtex. Cada semiplà és una cara del poliedre i les rectes intersecció de les cares són les arestes de l’angle poliedre. La suma dels angles dels diedres que formen un angle poliedre ha de ser menor que
360o

En el cas en què un angle poliedre tinga exactament tres cares, s’anomena tríedre.

Exemple:

Observa qualsevol dels cantons del sostre de l’habitació en què estàs. Cada una d’elles és el
vèrtex d’un tríedre en què les cares són dues parets consecutives i el sostre.

1.3. Perpendicularitat a l’espai

A l’espai hem de tractar diversos casos de perpendicularitat.
Dos plans són perpendiculars si els quatre angles rectilinis que determinen, són angles rectes.
Una recta és perpendicular a un pla si el talla i 
és perpendicular a qualsevol recta que estiga continguda al pla. Dues rectes són perpendiculars si formen un angle recte. És el
cas més sorprenent per dues raons en primer lloc a l’espai dues rectes poden ser perpendiculars sense tallar-se i en segon hi ha infinites rectes perpendiculars a una recta r donada i que passen per un punt P donat. Totes elles estan contingudes en un pla perpendicular a la recta r que passa pel
punt P.

Activitats resoltes

• Busca un exemple en la figura de:

         a)Plans paral·lels.
         b) Plans perpendiculars.
         c) Rectes paral·leles.
         d) Rectes perpendiculars i coplanaries.
         e) Rectes perpendiculars i no coplanaries.
         f) Recta i pla paral·lels.

a) El pla que conté a la cara ABCD és paral·lel al pla que conté a la
cara EFGH.
b) El pla que conté a la cara ABCD és perpendicular als plans que
contenen a les cares DCGH, CBFG, ABFE i ADHE.
c) La recta que passa per A i B és paral·lela a la recta que passa per D i C, a la recta que passa per E i F, i a la recta que passa per H i G.
d) La recta que passa per H i G és perpendicular a la recta que passa
per G i F, i ambdues estan al pla que conté a la cara EFGH, per la qual cosa són també coplanaries.
e) La recta que passa per H i G és perpendicular a la recta que passa per A i D. Aquestes dues rectes pertanyen a plans diferents.
f) La recta que passa per A i B és paral·lela al pla que conté a la cara EFGH.

• Si dos plans paral·lels determinen segments iguals en tallar a dues rectes, pots afirmar que les rectes són paral·leles?
  

No necessàriament. Observa la figura de la dreta i et donaràs compte. Les rectes del dibuix determinen un triangle isòsceles en tallar a dos plans paral·lels i tallar-se entre si, tal com apareix a la figura. Els segments interceptats pels plans en tallar a les dues rectes són iguals, no obstant això, les rectes no són paral·leles.

Activitats proposades

1. Busca en l’habitació en què et trobes, exemples de:
    a. Plans paral·lels i perpendiculars.
    b. Rectes paral·leles, rectes perpendiculars i coplanaries, rectes perpendiculars i no coplanaries.
    c. Recta paral·lela a pla, recta i pla secants, recta continguda en un pla.

2. Les fulles d’una porta giratòria formen entre si 5 angles diedres consecutius i iguals. Quant mesura cada un d’ells?

3. Des d’un punt interior a una sala de planta hexagonal regular es traça una recta perpendicular a
cada paret. Quant mesurarà l’angle que formen dos perpendiculars consecutives?

4. Dos tríedres tenen les tres cares iguals, es pot assegurar que són iguals? Raona la resposta.